Calienta la mantequilla a fuego medio-bajo en una sartén. Agrega la cebolla y cocina, revolviendo con frecuencia, durante aproximadamente 20 a 25 minutos hasta que esté suave y dorada. Agrega el vinagre. Deja a un lado.

Mientras tanto, combina el pan rallado, Worcestershire, huevo, sal y pimienta en un tazón mediano. Mezcla suavemente la carne molida con un tenedor (cuidado de no mezclar demasiado). Divide la mezcla en 2 porciones iguales y forma una empanada en cada una con la forma de una rebanada de pan de centeno, de ½ pulgada (2 cm) de grosor. Haz una depresión con la huella digital en el centro de cada hamburguesa (para evitar que se hinche mientras se cocina).

Calienta 1½ cucharaditas (7 mL) de aceite a fuego medio-alto en otra sartén. Cocina las hamburguesas durante 10 a 14 minutos, volteándolas dos veces o más, hasta que un termómetro digital de lectura instantánea insertado lateralmente en el centro de cada hamburguesa indique 160 °F (71 °C). Aleja del calor.

Coloca 2 rebanadas de pan en una superficie de trabajo. Cubre cada uno con 1 rebanada de queso, una hamburguesa de res, la mitad de las cebollas caramelizadas y el queso restante. Tapa el sándwich con la segunda rebanada de pan.

Calienta una plancha ligeramente engrasada o una sartén a fuego medio. Cocina los sándwiches, en tandas según sea necesario, durante aproximadamente 3 a 4 minutos, volteándolos una vez, o hasta que estén dorados y el queso se derrita. Corta los sándwiches por la mitad y sirve de inmediato.